طرق تحسين الحل العددي لمسائل القيم الحدية غير الخطية باستخدام الذكاء الاصطناعي
DOI:
https://doi.org/10.65405/bphb5655Keywords:
المعادلة التفاضلية اللاخطية, الحل العددي, طريقة الفروق المحددة, الذكاء الاصطناعي, الشبكات العصبية, مسائل القيم الحديةAbstract
مسائل القيم الحدية غير الخطية هي مسائل في الرياضيات تتكون من معادلات تفاضلية غير خطية لا تتناسب خطياً مع مشتقاتها أو دوالها بالإضافة إلى شروط حدية تحدد سلوك الحل عند حدود نطاق المشكلة. تتضمن الطرق التقليدية لحل المعادلات غير الخطية الطرق البيانية و طرق التحليل العددي مثل طريقة اويلر و طريقة Runge-Kutta تعتمد الطرق البيانية على رسم المعادلات وتحديد نقاط تقاطعها، بينما تعتمد الطرق العددية على إجراء عمليات تكرارية للاقتراب من الحلول الدقيقة. تواجه مسائل القيم الحدية غير الخطية تحديات كبيرة عند حلها عددياً، بسبب عدم استقرارية الطرق التقليدية، وتعدد الحلول الممكنة، والحاجة إلى دقة حسابية عالية.
يمثل الذكاء الاصطناعي بديلاً واعداً لتطوير أو تسريع الحلول العددية. من خلال عدد من الطرق لتطوير خاصية التنبؤ بالمخرجات إستنادا على كم من البيانات كمدخلات، يتم معالجتها حسب أنماط رياضية ومنطقية تم إستخلاصها من عمليات تعلم الآلة وعمليات تعلم عميق مسبقة، أدت إلى تشكيل ما يعرف بالشبكات العصبية؛ وهي نماذج رياضية تحاكي عمل العصبونات في الجهاز العصبي المركزي للإنسان.
تهدف هذه الورقة إلى مقارنة طرق الحل التقليدية لمسائل القيم الحدية غير الخطية مع التركيز على طريقة الفروق المحددة مع حلول تعتمد على الشبكات العصبية الصناعية، وبشكل خاص شبكات عصبية تتعامل مع الشروط الحدية كما تقدم دراسة حالة تقارن بين أداء الحلول التقليدية والحلول المعتمدة على الذكاء الاصطناعي. يتم تطبيق المنهجية المقترحة على مسألة نموذجية من الرتبة الثانية، ومقارنة النتائج من حيث الدقة والاستقرار العددي.
Downloads
References
1. محمد عبد الرحمن عوض، الطرق العددية: الأسس والتطبيقات الهندسية، دار المسيرة للنشر والتوزيع، عمّان، الأردن، 2010.
2. حسين علي حسين، الشبكات العصبية الاصطناعية: المبادئ والتطبيقات، دار الفكر العربي، القاهرة، مصر، 2014.
3. أحمد محمد حسن، مقدمة في الذكاء الاصطناعي وتطبيقاته، دار الكتاب الجامعي، العين، الإمارات العربية المتحدة، 2018.
4. J. Stoer and R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis, Springer, New York, 2002.
5. S. Haykin, Neural Networks and Learning Machines, 3rd ed., Prentice Hall, 2009.
6. I. E. Lagaris, A. Likas, and D. I. Fotiadis, “Artificial neural networks for solving ordinary and partial differential equations,” IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 9, no. 5, pp. 987–1000, 1998.
Downloads
Published
Issue
Section
License
Copyright (c) 2025 Comprehensive Journal of Science
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.
