دراسة عددية مقارنة بين الطرق الكلاسيكية والتكيفية لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية
DOI:
https://doi.org/10.65405/8xhtgm69الكلمات المفتاحية:
المعادلات التفاضلية غير الخطية، التحليل العددي، طريقة رونج–كوتا، تحليل الخطأ المطلق، الكفاءة الحسابيةالملخص
تقدم هذه الدراسة تحليلاً عددياً مقارناً لحل فئة من المعادلات التفاضلية غير الخطية التي يصعب الحصول على حلول تحليلية مغلقة لها. يهدف هذا البحث إلى تقييم كفاءة عدة خوارزميات تكامل عددية، بما في ذلك طريقة أويلر، وطريقة رونج–كوتا من الرتبة الرابعة (RK4) ، والطريقة الضمنية، بالإضافة إلى المحلل التكيفي ode45 ضمن بيئة MATLAB، وذلك من حيث الدقة العددية، والاستقرار، وزمن الحساب، وتأثير حجم خطوة الزمن. تم تطبيق هذه الطرق على ثلاثة نماذج رياضية تمثيلية تُظهر أنواعاً مختلفة من السلوك غير الخطي. كما تم حساب الخطأ المطلق، ومعدل التقارب، والحساسية لتغيرات خطوة الزمن. أظهرت النتائج أن طريقة RK4 تحقق أفضل توازن بين الدقة والكفاءة الحسابية، في حين يوفر ode45 أعلى استقرار عددي في الحالات التي تتضمن تغيرات سريعة. وعلى النقيض، تبقى طريقة أويلر الأقل دقة رغم سرعتها الحسابية. تكمن المساهمة العلمية لهذه الدراسة في تقديم إطار مقارن موحد يجمع بين تحليل الخطأ، والتحقق العددي من رتبة التقارب، وتحليل حساسية خطوة الزمن، مما يدعم اختيار الخوارزمية الأنسب للتطبيقات العلمية والهندسية.
التنزيلات
المراجع
1. Butcher, J. C. (2016). Numerical Methods for Ordinary Differential Equations (3rd ed.). John Wiley & Sons.
2. Hairer, E., Nørsett, S. P., & Wanner, G. (2008). Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems (2nd ed.). Springer.
3. Hairer, E., & Wanner, G. (2010). Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems (2nd ed.). Springer.
4. Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2015). Numerical Methods for Engineers (7th ed.). McGraw-Hill.
5. Abu-Amr, S., Almajbri, T., & Ali, M. (2024). Comparison of Runge-Kutta methods for solving nonlinear equations. Alq Journal of Medical and Applied Sciences,7(4), 1100–1108.
6. Chapra, S. C. (2018). Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists (4th ed.). McGraw-Hill.
7. Burden, R. L., & Faires, J. D. (2016). Numerical Analysis (10th ed.). Cengage Learning.
8. Sauer, T. (2017). Numerical Analysis (3rd ed.). Pearson.
9. Atkinson, K. E. (2008). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). Wiley.
10. Lambert, J. D. (1991). Numerical Methods for Ordinary Differential Systems: The Initial Value Problem. Wiley.
11. Shampine, L. F., & Reichelt, M. W. (1997). The MATLAB ODE Suite. SIAM Journal on Scientific Computing, 18(1), 1–22.
12. Dormand, J. R., & Prince, P. J. (1980). A family of embedded Runge–Kutta formulae. Journal of Computational and Applied Mathematics, 6(1), 19–26.
13. MathWorks. (2023). MATLAB Documentation: ode45 Solver. Retrieved from https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html
14. Ascher, U. M., & Petzold, L. R. (1998). Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. SIAM.
15. Iserles, A. (2009). A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations (2nd ed.). Cambridge University Press
التنزيلات
منشور
إصدار
القسم
الرخصة
الحقوق الفكرية (c) 2026 مجلة العلوم الشاملة
هذا العمل مرخص بموجب Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.
